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수학 꼼지락
2007. 4. 24. 19:32
이번주는 중간고사 기간이다.
오늘 수학시험을 봤는데, 논란이 일고 있는 문제가 있다.
그 문제는 다음과 같다.

무한수열 {an},{bn}에 대하여

사용자 삽입 이미지




는 틀린 진술이라고 한다.
왜냐하면 두 수열이 모두 발산할 경우에 부등호를 사용할 수 없기 때문에..
저 식은 두 수열이 수렴할 때만 성립한다나??

아직도 난 아닌 것 같은데..

누구 이거 증명해 주실 분 없나요??

제 생각은 다음과 같습니다.

cn=bn-an 이라고 정의 하면,
cn=bn-an>0 (왜냐하면, an<bn)
limcn>=0
<=> lim(bn-an)>=0
<=> limbn-liman>=0
<=> limbn>=liman

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권영락 | 2007.06.18 09:03 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
우연히 지나가다가.. 댓글이 없어서 적어봅니다.
lim(bn-an)>=0
<=> limbn-liman>=0
이것이 성립하기 위해서는 두 수열이 모두 수렴할때 입니다.
예를 들면 a_n = 1, -1,1,-1, .....
b_n = -1,1,-1,1,-1......
b_n -a_n = 0,0,0,0,.... 이니까 lim(bn-an)>=0 이죠.
그런데, a_n 이나 b_n 모두 존재하지 않기 때문에 limbn-liman>=0 이라는 말 자체가 안됩니다.

또는 a_n = n , b_n = n+1 ... a_n - b_n = 1 --->> lim(bn-an)>=1
그런데 둘다 발산 이므로 limbn-liman = ∞ -∞ = ??? 입니다.. ^^*
꼼지락 | 2007.06.18 18:11 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
그럼 limbn과 liman이 존재하지 않는 값이기 때문에 뺄 수 조차 없다는 말인가요?
Keating | 2008.03.09 00:32 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
lim(bn-an) 은 liman, limbn이 수렴이든 발산이든 관계없이
무조건 limbn - liman 과 값이 같은것 아닌가요?;
lim 의 정의 자체가 그냥 n을 무한대로 보낸다는 것이거든요
그러니까 위의 두개는 무조건 같은거예요. 같은거!
snowall | 2007.06.19 02:48 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
일단, 둘 중 하나가 발산할때는 당연히 성립하지 않으므로 패스. 둘 다 발산한다면, 위의 부등식을 등호가 성립하게도 할 수 있고 부등호가 성립하게도 할 수 있습니다. 심지어 반대방향 부등호가 성립하게도 만들 수 있죠. 요점은, 극한으로 보내는 경우 좌변과 우변의 n이 함께 가야 할 필요가 없다는 점입니다. 좌변은 n이고 우변은 m으로 간다면, 적당한 N보다 큰 m에 대해서 우변의 m번째 항은 좌변의 임의의 n번째 항보다도 클 수가 있죠. 반대로, 어떤 적당한 M보다 큰 n에 대해서 좌변의 n번째 항은 우변의 임의의 m번째 항보다 클 수도 있습니다. 즉, 부등호가 양쪽 다 성립하죠.
물론 위에 권영락님이 말씀하신 것도 옳습니다. 권영락님이 얘기하신게 좀 더 본질적인 이유가 되겠죠.
꼼지락 | 2007.06.19 17:47 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
n과 m으로 쓸 경우에는 성립하지 않는 다는 것을 알겠습니다. 둘다 똑같이 n으로 쓰고 있다는 것은 상관하지 않아도 되는 것인가요?
snowall | 2007.06.19 17:58 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
그 경우에는 새로운 수열 c(n)=b(n)-a(n)을 만들어서 c(n)의 극한을 조사해야 합니다. 조건에 의하면 모든 n에 대해서 c(n)은 양수입니다. 이제, c(n)의 극한도 양수일까요? 양수군요 -_-;
그러나 여전히 위의 부등식 자체는 제가 앞서 말씀드린 바와 같이 n과 m을 다를 수 있다는 것이 전제되므로 c(n)이 양수라고 해서 본문에 나온 부등식이 성립하는 것은 아닙니다.
꼼지락 | 2007.06.19 18:19 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아~ 그럼 n과 m으로 놓고 식을 전개하여도 맞아야 하지만, 틀리는 경우가 생기게 되므로 틀린 식이 되는 군요.
감사합니다. 이제 해결된 것 같습니다.^^
Keating | 2008.03.09 00:21 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
제가 알기론 등호(=)나 부등호(<)는 어떤 값에 대해서만 정의가 됩니다.
사칙연산 또한 마찬가지구요
그냥 발산하기 때문에 부등호를 사용할 수 없다
즉, 발산하는 것(상태, 특정 값이 아님)에는 등호, 부등호를 적용할 수 없습니다.
그러니까 틀린거죠
0 < ∞
이런 것이 개념적으로는 아무문제가 없지만 이런 표기(Expression) 자체가 잘못된 것이라고 생각합니다
꼼지락 | 2008.03.09 00:28 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아~ 정의를 안해버리는 것이었군요.
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