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수학 꼼지락
2007.03.03 19:44
확률에는 조건부 확률이라는 것이 있습니다.
어떠어떠한 사건이 일어난 아래 어떤 사건이 일어날 확률을 뜻하는 말이 조건부 확률입니다.

예를 들어, 10개중 1개의 당첨제비가 있다고 합시다. 그리고 제비를 뽑는 사람은 10명입니다. 이 경우 몇 번째 제비를 뽑던지 당첨제비를 뽑을 확률은 언제나 1/10입니다. 왜냐하면, (아닐 확률) x (나올 확률) 이기 때문에 계속해서 그렇습니다.

첫 번째 제비를 뽑는 사람이 당첨제비를 뽑을 확률은 당연히 1/10입니다.
두 번째 제비를 뽑는 사람이 당첨되려면 처음사람이 당첨제비를 뽑지 못한 후에 자신이 당첨제비를 뽑아야 합니다.
이를 수학적으로 써보면 9/10 x 1/9 = 1/10 가 됩니다.
세 번째 사람은 9/10 x 8/9 x7/8 = 1/10 이 됩니다. 이렇게 계속해 나가면 열 명 모두 당첨제비를 뽑을 확률은 같습니다. 나중에 뽑는다고 불리하거나 한 것이 아니죠.
이렇게도 생각할 수도 있습니다. 모두가 뽑기만 할 뿐 눈을 감은채로 보지 않고 있다가 마지막 사람이 뽑은 후에 다 같이 동시에 제비를 본다고 해 봅시다. 눈을 뜨기 전 까지 모두는 당첨될 확률이 1/10 이 됩니다.

이러한 것을 이용해서 snowall님의 '버스 딜레마 2탄'을 풀어봅시다.
버스 딜레마2의 문제해결법은 멈춰 설 확률, 아닐 확률을 계속 곱해 나아가면 됩니다.
이 경우에 처음에 멈춰 설 확률은 (여자가 차지하는 면적) ÷ (버스에 서 있을 수 있는 면적) 이 됩니다.
그리고 멈춰 서지 않을 확률은 1 - (멈춰 설 확률) 입니다.
그리고 한걸음 또는 반걸음 어쨋든 조금이라도 이동후에 멈춰설 확률은
{1 - (멈춰 설 확률)} x {(여자가 차지하는 면적) ÷ (버스에 서 있을 수 있는 면적-아까서있을수 있었던 자리의 면적)}
={1 - (여자가 차지하는 면적) ÷ (버스에 서 있을 수 있는 면적)} x {(여자가 차지하는 면적) ÷ (버스에 서 있을 수 있는 면적-여자가 차지하는 면적)}
=[{(버스에 서 있을 수 있는 면적) - (여자가 차지하는 면적)} ÷ (버스에 서 있을 수 있는 면적)] x {(여자가 차지하는 면적) ÷ (버스에 서 있을 수 있는 면적-여자가 차지하는 면적)}
=(여자가 차지하는 면적) ÷ (버스에 서 있을 수 있는 면적)
이 됩니다.

이런방식이 계속 된다면 어떤 자리에든지 여자가 설 확률은 언제나 (여자가 차지하는 면적) ÷ (버스에 서 있을 수 있는 면적) 입니다. 처음 자리를 지났다고 해서 확률이 변하지는 않게 되는 것이지요. 즉 언제나 내 옆에 설 확률도 같은 것 입니다.
확률이 증가할 것 같으나 첫번째 사람이 당첨되지 않는다고 해서 두번째 사람의 당첨확률이 증가하지 않는 것과 마찬가지로 생각하면 될 것 같습니다.

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'ㅅ' | 2009.03.27 14:37 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
이 뽑기문제도 마찬가지인데

9개의 꽝과 단 한개의 당첨제비가 있다
이 10개의 제비 중에서 랜덤하게 한개 뽑을 때
먼저 뽑는게 유리할까, 나중에 뽑는게 유리할까?
(뽑은 제비는 제외한다.)

이런 질문에 대한 답은
언제 뽑아도 확률은 같다- 입니다.


그렇지만

'제비 하나를 뽑아 꽝이 나왔다'
이 사건을 확인하는 순간 확률은 바뀝니다.

극단적으로
9개 뽑아서 꽝일 경우
나머지 하나의 확률은 100% 당첨제비 입니다.

 
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