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수학 꼼지락
2009.02.03 14:15
위 값은 얼마일까요?

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지나가다가 | 2013.04.29 00:09 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
4요.

저 수가 수렴하면 (저 점점점 대신에, a(1) = 2, a(n+1) = 2 + Sqrt[a_n] 의 수열을 생각하고, 이 수열이 수렴하면) 간단하게 수렴값 x = 2 + Sqrt[x]라서 x = 4 입니다.

수렴성을 증명하기 위해 다음과 같은 절차를 밟습니다.
a(1) = 2 <= 4 & a(n) <=4 implies a(n+1) = 2 + Sqrt[a(n)] <=4 를 통해서, 귀납법으로 모든 n에 대해 a(n) <=4 입니다.
증가수열임을 증명합니다. a(1) = 2 < a(2) = 2 + Sqrt[2] 를 확인하고, 다시 귀납법을 쓰기 위해 a(n)-a(n-1) >=0 을 가정합니다. 그러면 a(n+1) - a(n) = Sqrt[a(n)] - Sqrt[a(n-1)] >= 를 확인할 수 있습니다. 그래서 a(n)는 증가수열입니다.

위로 유계인 증가수열 a(n)는 수렴하므로 이 수(열) 또한 수렴하고, 맨 처음에 보인 "수렴한다고 가정했을때의 수렴값"이 실제 수렴값임을 알 수 있습니다
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