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수학 꼼지락
2009.01.27 10:47
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꼭 문제 보고오세요~

유클리드 호제법이란 것이 있습니다.
B = qA + r 을 만족하는 정수쌍 A,B,q,r 이 있을때.. A와 B의 G.C.D(최대공약수)는 A와 R의 최대 공약수와 같다는 성질입니다. 이를 이용하면 커다란 수와 커다란 수의 최대공약수를 찾는 것이 쉬워집니다. 심지어는 식과 식의 (이경우 수뿐 아니라 문자도 포함 할 수 있겠지만) 최대공약수를 찾는 것이 가능해집니다.

이제 문제로 돌아가봅시다.
$T_{n+1} = T_n^2 - T_n + 1$
에서 식을 살짝만 변형시켜보면,
$T_{n+1} = (T_n - 1) \times T_n + 1$
유클리드 호제법에 의하여, $T_{n+1}$ 과 $T_n$의 최대공약수는 $T_n$ 과 $1$의 최대공약수와 같아집니다.
이 둘의 최대공약수는 $1$이므로, $T_{n+1}$ 과 $T_n$은 서로소입니다.
이제 $n$ 대신에 $n+1$을 대입해서 식을 살펴보겠습니다.
$T_{n+2} = (T_{n+1} - 1) \times T_{n+1} + 1$
우변에서 괄호속의 $(T_{n+1} - 1)$ 에서 $T_{n+1}$대신 $T_n^2 - T_n + 1$를 대입합니다.
$T_{n+2} = (T_n^2 - T_n + 1 - 1) \times T_{n+1} + 1$
$= (T_n^2 - T_n ) \times T_{n+1} + 1$
$= (T_n - 1 ) \times T_n \times T_{n+1} + 1$
$T_{n+2}$ 또한 $ a \times T_n + 1$로 나타내 지므로, 유클리드 호제법에 의해 $T_{n+2}$ 과 $T_n$은 서로소입니다.
우변을 관찰해봅시다. $+1$항이 아닌 항에서, $(T_n - 1)$은 우변에는 계속 남아있다는 것을 관찰할 수 있습니다.
$n$을 증가시키게 되면, $(T_{n+1} - 1) = (T_n^2 - T_n + 1 - 1) = (T_n^2 - T_n) = (T_n - 1) \times T_n$가 만족됩니다.
즉, 우변은 항상 $a \times T_n + 1$이 만족되므로 임의의 자연수 $k$에 대해 $T_{n+k}$와 $T_n$은 서로소입니다.

자연수의 개수는 무한하므로, $T_n$과 서로소인 $T_{n+k}$는 무한합니다. 따라서 소수또한 무한합니다. $Q.E.D$


[관련글]: 소수는 무한히 많다!?

꼼지락 | 2009.01.27 11:19 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
덤으로 T_n 부터 T_{n+k-1} 까지 모든 수와 T_{n+k}는 서로소임도 알 수 있습니다.^^
애기_똥풀 | 2009.01.27 20:09 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
좋은 풀이입니다 :) 사실은, 기호의 탈을 벗기면 제 풀이와 동일합니다.
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