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수학 꼼지락
2008. 7. 6. 00:30
※주의※ 이 글은 파이어폭스에서만 정상적으로 보입니다. 링크되어있으니 가서 다운받아 설치해 주세요. 만약 파이어폭스를 깔기 싫으시다면, 여기에 방문하셔서 Mathplayer를 설치해 주세요. 그렇지 않으시다면 글 읽기에 굉장히 불편하실 것입니다. 그냥 모든곳에서 보일 수 있도로 그림파일로 만들려면 너무 오래 걸릴 것 같아서 이렇게 밖에 못했습니다. 죄송합니다.

지난번에 너무 대충 설명해 놓아서 그랬는지 데굴데굴님께서 바로 설명요청을 해주셨더라고요. 바빠서 바로 설명 못올려드린 점 죄송하고요. 이제 설명 들어갑니다. 글이 상당히 길지만, 제발 끝까지 읽어 주세요.ㅋㅋ

모든 자연수는 어떻게 이루어 져 있을까요? 1과 여러가지 소수의 곱으로 이루어 져 있다고 할 수 있습니다. 예를 들어 21 같은 경우, 1*3*7 인것 처럼 말이죠. 물론 1은 보통 생략하긴 합니다만, 앞으로 설명에 있어 매끈한 진행을 위해 딱 한개만 봐주세요.^^; 그럼 이제 모든 자연수를 더해봅시다. 이때 모든 자연수의 합을 S라고 해봅시다. 이 이야기를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$ S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 \ldots $
    $= \sum_{k=1}^{\infty}k $

이때 위 식의 우변을 모든 소수들로 인수분해 할 수 있습니다. 그럼 이렇게 되겠죠.

$ S = (2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+\ldots)(3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+\ldots)(5^0+5^1+5^2+5^3+5^4+\ldots)(7^0+7^1+7^2+7^3+7^4+\ldots)\ldots$

그리고 이제 소수유한하다고 가정해 봅시다. 그리고 가장 큰 소수가 N번째 소수라고 합시다. 즉, 소수를 $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ $a_N$와 같은 식으로 놓자는 이야기 입니다. 그러면 이제 좀더 멋지게 진짜 수학인 것인냥 쓸수가 있게 됩니다.

$  S = (\sum_{k=1}^{\infty}a_1^k)(\sum_{k=1}^{\infty}a_2^k)(\sum_{k=1}^{\infty}a_3^k)\ldots(\sum_{k=1}^{\infty}a_N^k)$
    $ = \prod_{s}^{N}(\sum_{k=1}^{\infty}a_s^k)$

잠깐, 여기서 혹시 $ \prod $ 의 기호의 의미를 이해하지 못하시는 분을 위해 간단히 설명하고 지나가도록 하겠습니다. 이 기호는 곱셈에서의 시그마라고 생각하시면 되는 기호입니다. 규칙성 있는 무엇인가를 더할 때에, 덧셈의 영어 "SUM"에서 S와 발음이 같은 라틴어 시그마기호$\sum$를 사용하는 것과 같이, 규칙성 있는 무엇인가를 곱할 때에 "PRODUCT"의 첫 글자 P와 발음이같은 파이$\prod$기호를 사용합니다. 예를 들어 1~10까지 더하고 싶다는 소리를 할 때 $\sum_{k=1}^{\10}k$ 라고 쓰죠. 이와 같이 1부터 10까지 곱하고 싶을 때에는 $\prod_{k=1}^{\10}k$ 이런 식으로 씁니다. 원래는 기호의 아래에 곱셈의 시작점을 쓰고, 위에다 곱셈의 끝점을 쓰지만, 지금 보이시는 것은 문자의 뒤쪽에 위첨자와 아래첨자로 쓰는 것처럼 보일텐데 원래는 그게 아니라는 점 유의해 주세요^^

잠깐 옆길로 다녀왔습니다. 이제 원래 가던 길을 갑시다. 지금까지 해 왔던 논리로 계속 진행하고싶지만, 그럼 소수는 무한대라는 것을 증명하기 쫌 거시기 하므로 이제는 방법을 조금 바꿔보겠습니다.

모든 자연수의 합을 S라고 했었지요. 이제 자연수의 역수를 전부 다 더한 것을 G라고 합시다.

$  G = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7 } + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \ldots $
    $ = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} $
    $ = (\frac{1}{2}^0+\frac{1}{2}^1+\frac{1}{2}^2+\frac{1}{2}^3+\ldots)(\frac{1}{3}^0+\frac{1}{3}^1+\frac{1}{3}^2+\frac{1}{3}^3+\ldots)(\frac{1}{5}^0+\frac{1}{5}^1+\frac{1}{5}^2+\frac{1}{5}^3+\ldots)(\frac{1}{7}^0+\frac{1}{7}^1+\frac{1}{7}^2+\frac{1}{7}^3+\ldots)\ldots
    $ = (\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_1}^k)(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_2}^k)(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_3}^k)\ldots(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_N}^k)
    $ =\prod_{s}^{N}(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_s}^k)

원래 모든 자연수의 역수를 더하면 무한대로 발산합니다. 증명 방법에는 여러가지가 있는데 가장 이해하기 편한 증명은 다음과 같습니다.

$  G = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7 } + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \ldots $
    $ \ge \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \ldots $
    $ = \frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 4\frac{1}{8} + 8\frac{1}{16} + \ldots $
    $ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ldots $
    $ \rightarrow \infty

한편, 이를 인수분해 하여 더한 것을 생각해 봅시다. 각 항은 공비가 1보다 작은 무한등비급수입니다. 공비의 절대값이 1보다 작으면 무한등비급수는 수렴합니다. 따라서 인수분해한 모든 항은 수렴합니다. 즉 어떤 실수값으로 정해진다는 말이죠. 게다가 소수가 커지면 커질수록 그 역수인 공비는 작아지기 때문에 그 수렴하는 실수값은 작아집니다.

이제 소수가 딱 N개만 있다고 합시다. 그러면 인수분해한 식은 결국 N개 실수의 곱이 됩니다. 아무리 큰 실수라도 정해져 있는 특정한 유한한 실수를 유한번 곱하면... 또 유한한 실수가 됩니다. 좀 크겠지만 아뭏튼 유한한 숫자입니다. 절대 무한하지 않죠.

따라서, 소수가 유한하다고 가정하고, 가장 큰 소수를 $a_n$이라고 합시다. 그렇게 되면 무한등비급수에 관한 공식에 의해 G는 다음과 같이 계산 됩니다.

$ G = (\frac{1}{2}^0+\frac{1}{2}^1+\frac{1}{2}^2+\frac{1}{2}^3+\ldots)(\frac{1}{3}^0+\frac{1}{3}^1+\frac{1}{3}^2+\frac{1}{3}^3+\ldots)(\frac{1}{5}^0+\frac{1}{5}^1+\frac{1}{5}^2+\frac{1}{5}^3+\ldots)(\frac{1}{7}^0+\frac{1}{7}^1+\frac{1}{7}^2+\frac{1}{7}^3+\ldots)\ldots
    $ = ( \frac{2}{1} )( \frac{3}{2} )( \frac{5}{4} )( \frac{1}{2} )\ldots( \frac{a_N}{a_N-1})
    $ = 어떤실수
    $ \ne \infty

즉, 소수의 개수가 유한하다고 가정하면 모든 자연수의 역수의 합이 유한한 값이 됩니다. 이는 원래 사실과 다릅니다. 따라서 소수는 무한합니다.

이렇게 긴 이야기를 수학으로 쓰면 저번처럼 굉장히 짧아진다는데 수학의 매력이 있죠^^

이상 소수가 무한하다는 것에 대한 조금 더 뭔가 있어보이는 증명 에 대한 해설이었습니다.




[관련글]: 소수가 무한하다는 것에 대한 조금 더 뭔가 있어보이는 증명
              소수는 무한히 많다!?



데굴대굴 | 2008.07.06 01:37 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
오오오~~ 이제는 알아먹었어요. -_-
꼼지락 | 2008.07.06 02:34 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
이모티콘의 의미는 뭐죠;; 진짜 알아들으신건지 확신이 안가서요...
데굴대굴 | 2008.07.06 10:27 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
새로운 사실을 배우고 나면... 눈이 저렇게 변합니다. -_-
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