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수학 꼼지락
2008. 5. 3. 01:30
n! 즉, 1 곱하기 2 곱하기 3 곱하기 4..... 곱하기 n 은 얼마정도 될까요?
제가 중학교에 다니던 시절.. 1부터 20까지 곱하는 것에 도전한 친구가 있었습니다. 혹시 얼마나 나올지 궁금하시면 해 보세요. 손으로 계산하고, 값에대한 확신이 가는데 까지 만약 한 시간이 안걸리신다면 당신은 신입니다.
아무튼 오늘 n!에 대한 근사식을 발견했습니다.
그 식은 바로...

사용자 삽입 이미지

입니다...
n값이 100일때 등식이 성립하며 그 이상에서 충분히 근사가 될 수 있음은 입증이 가능합니다. 같은 식을 이용해 (n+1)! 의 근사값을 구해서 n! 의 근사값으로 나누었을때, 우변이 충분히 n+1 에 가까운가를 조사해 보면 되는데요. 한 번 해 보시면 충분히 가깝다는 것을 아실 수 있습니다. 숫자가 커질수록 더 정확히 성립하는 듯 합니다. 그러한 연유로, 만약 n이 100 일때 성립하는 것이 사실이라면 100! 이상의 값은 저 식을 통해 충분히 가깝게 찾아낼 수 있는 것이 사실입니다.

그런데!!
도대채 저 식은 누가 생각했을까요?
어떻게 저런 식을 생각해 낼 수 있었던 것일까요?

맞다는 것을 검증하기는 쉽지만,,, 갑자기 머릿속에 떠오르기엔 복잡한 식.
게다가 100! 이라는 무지막지하게 큰 수와 완벽하게 일치하는... 유명한 무리수들을 포함하는 우변..

세상엔 천재가 많나봅니다.



p.s. 근데 정말 궁금하네요. 저 식은 누가 어떻게 찾아냈을까요? 누구 아시는분 계시면 좀 알려주세요.

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꼼지락 | 2008.05.03 01:38 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
√2π 곱하기 e^(-100) 에다가 100^ 00 곱하기 10을 하면, 자연수가 된다는 것도 엄청나게 놀랍습니다.
두 유명 무리수들을 적당히 옷 입혀 곱해서 유한소수를 만들생각을 한 사람이 있었다는 게 놀랍기만 할 따름입니다.
애기_똥풀 | 2008.09.23 23:50 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
근사식이기 때문에, 유리수는 아닐 것 같은데 - 요 -

제가 덧글을 잘못 이해했나요? 엉엉 ㅠㅠ
꼼지락 | 2008.09.26 00:01 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아.. 그렇겠네요. 제가 확인해본답시고 엑셀로 확인을 했었습니다;; 엑셀은 계산할 때 자기멋대로 숫자를 자른다는 사실을 잊고 댓글을 달아버렸네요.. 지적 감사합니다.
당시에 너무 흥분한 상태라 경황이 업었네요..-_-;;
대땅이 | 2008.05.03 02:49 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
Stirling's approximation이라고 합니다~ 통계물리 배울 때 많이 썼던 기억이 나네요.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation
여기에 derivation도 나와있네요 ^^
꼼지락 | 2008.05.03 20:52 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아, 감사합니다.^^
로그를 사용했기 때문에 e 가 생긴것이었군요. 무한급수전개때문에 π가 생겼고요...
정말 대단합니다!!
Wallis product 찾아낸 둘째줄에서 벌써 감격해버렸네요.
Karion | 2008.05.05 18:53 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
작년 열역학때 배운 내용이군요. 구체적인 증명은 얼마전 양자물리 시간에 들었는데, 정말 신기하죠. 보통 로그 형태로 많이 쓰고는 했었는데.. 열역학에서 엔트로피를 계산하기 위해서 분자를 10^23개씩 생각하다보니, 그 엄청난 수를 감당할 수 없어서 로그 형태로 전개를 많이 하고는 했거든요. ㅎㅎ
꼼지락 | 2008.05.05 22:38 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
몰단위를 사용하면 숫자가 쫌 크긴 하죠..^^ 열역학을 할 때에도 factorial 이 사용되나보네요. 신기합니다.
snowall | 2008.05.07 08:20 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
열역학은 본질적으로 통계역학이기 때문에 계승이 자연스럽게 나옵니다. 통계역학을 공부하다보면 너무 많이 잘라내서 틀리는거 아닌가 싶은데도 불구하고 그 모든 오차를 "숫자가 크니까 괜찮아"로 때운다는 느낌이 들게 되지요. 게다가 결과는 현실과 정확히 일치한다는 것이 더 놀랍습니다.
꼼지락 | 2008.05.07 23:46 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아주 막 잘라내는게 통계역학인가봐요.^^
Seldon | 2008.05.22 16:15 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
snowall님의 말씀에 덧붙이자면, 시스템의 크기(또는 분자의 개수)를 N이라고 하면 오차는 1/sqrt(N) 처럼 나타나는 경우가 많습니다. 이럴 경우 N을 매우 크게 하면 오차는 0으로 접근하죠. 이런 식으로 중요한 부분은 살아남고(또는 살아남으니까 중요한 거겠죠;;) 중요하지 않은 부분은 사라집니다. 그리고 이 차이가 확연해지는 건 역시 N이 매우 큰 경우인 거구요. 그래서 실은 막 잘라내도 맞는 게 놀라운 일이라기보다는 당연한 또는 충분히 정당화되는 것으로 보입니다.
꼼지락 | 2008.05.22 23:37 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
오차가 1/sqrt(N)처럼 나타나는 이유가 궁금해 지는데요.
Seldon | 2008.05.26 14:47 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
답글이 늦었습니다. 평균이 m, 분산이 s인 확률변수 N개의 평균을 X라고 하면, X의 평균은 m, 분산은 s/N입니다. 즉 X의 표준편차는 1/sqrt(N)에 비례하고, N이 매우 크다면 0으로 수렴합니다.

여기서 X를 N개의 확률변수의 평균이 아니라 합으로 정의해도, 평균과 표준편차가 N에 어떻게 의존하는지를 보면 평균이 N에 따라 커지는 속도가 표준편차가 N에 따라 커지는 속도에 비해 빠르므로 결국 표준편차, 즉 오차는 무시할 수 있다고 결론지을 수 있습니다.
꼼지락 | 2008.05.27 23:44 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
오차와 분산이 같은 개념이었군요. 기초적인 통계학 지식을 깜박하고 있었네요;;
flyingtext | 2008.06.01 16:57 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
흠... 저 글보니 갑자기 감마 함수가 생각 납니다 ^^;
정수 x가 있을때
감마(x)=(x-1)!
어쩌면 저 근사가 이 감마 함수에서 나왔을지도 모르죠 ^^
꼼지락 | 2008.06.03 22:52 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
위키페디아에서 증명해 놓은 걸 보니, 감마함수를 이용해 증명하는 방법도 있는 것 같았지만,, 제가 모르는 함수인 관계로 이해는 불가능 했습니다.ㅋ
조현석 | 2008.06.19 15:45 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
저 수식을 개발한 사람이 만든 또다른(?) 수식을 알고 있어서 적어봅니다.
슈뢰딩거 방정식과 라그랑쥐승수법을 적절히 섞고, 확률분포함수까지 섞어서 미시열역학에서
내부에너지, 엔트로피, 압력 등등을 유도해 낼 때, lnx! = xlnx-x 로 근사하지요. (멋지다?!)
오늘 방금 전에 시험보고 오랜만에 왔다가 보고서 처음으로 글 남김니다.
꼼지락 | 2008.06.21 00:02 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
x가 충분히 커지면 x(lnx-1)≒xlinx 로 해도 될거 같은데 그렇게는 안하나요?
근사식이 상당히 깔끔하게 처리되는게 아주 멋지네요^^
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