분류 전체보기 (165)
과학 꼼지락 (35)
수학 꼼지락 (41)
 시 꼼지락 (21)
언어 꼼지락 (6)
잡다 꼼지락 (61)
비밀 꼼지락 (0)
BLOG main image





수학 꼼지락
2008. 1. 23. 23:30
여러 차원의 정다면체에 관련해서 생각해 봅시다. 그중에서도 가장 최소한의 면을 갖는 정다면체를요. 1차원부터 시작해서 계속 차원을 늘여 나가면서 말이죠. 1차원에는 끽해봐야 선분만을 만들수 있습니다. 2차원에는 점을 세 개 찍어 정삼각형을 만들 수 있죠. 3차원에는 점을 네 개 찍어 정사면체를 만드는 거죠.

1차원 선분의 중점에서 선분의 방향과 수직인 방향으로 적당한 만큼 올라가서 점을 잡으면, 정삼각형을 만들수 있게 됩니다. 이렇게 해서 2차원 정다면체중 하나라고 부를 수 있는 정삼각형을 만든것이죠. 그리고 정삼각형의 중점에서 면에 수직인 방향으로 적당한 만큼 올라간 점을 잡아 삼각형의 꼭지점들과 이으면, 정사면체가 만들어 집니다. 이는 3차원 정다면체라고 할 수 있지요.

이제 4차원 정5면체(오포체)를 만들어 봅시다. 먼저 삼차원에 있는 정사면체의 중간에 점을 잡습니다. 그리고 모든 공간차원에 수직인 차원 하나를 잡아 적당한 거리에 점을 찍으면 완성될껍니다. x,y,z축 세개는 이미 사용해서 3차원을 사용 중입니다. 그러면 모든 공간차원에 수직인 차원이 뭐가 있을까요? 바로 시간입니다! 어떤 방향과도 상관 없는 시간이라는 차원을 이용하면 되는거죠. 이를 이용해 오포체를 그리는 방법은 아래와 같습니다.

먼저 정사면체가 있습니다. 그리고 잠시후 정사면체의 선분은 모두 사라집니다. 시간축이 이동하기 때문에 더이상 같은 모양의 정사면체가 존재하지 않습니다. 대신 점점 작아집니다. 적당한 시간동안 이동해서 정사면체의 중점에 동시에 네 점이 도착합니다. 그리고 도착한 점은 만난뒤 사라집니다. 이런 방법을 사용해 오포체를 표현하게 될 수 있는 거죠. 플레쉬를 이용해 표현해 보면 아래와 같습니다.


사실 정사면체 자체가 작아져야, 각 면들을 모두 표현 할 수 있습니다. 하지만, 그렇게 하면 플레쉬를 만들어 보기가 어렵습니다. 위 그림은 삼각형에서 태두리만 그린 그림과 같다고 생각하시면 됩니다. 정사면체를 성냥깨비로 만들어서 각 면들은 없고 골격만 있는 그런 형태인 것입니다.

그리고, 오포체를 표현하는 방법이 두가지인 이유는 이렇습니다. 선분에서 점을 찍을때 점은 두 부분에 찍을 수 있습니다. 산모양의 삼각형과, 역삼각형을 만드는 방법이 있는거죠. 정사면체또한 면으로 서있는 모양과, 점으로 서잇는 모양을 만들수가 있습니다. 이처럼 오포체도 점부터 시작하는 오포체와, 정사면체부터 시작하는 오포체를 만들수가 있는 것입니다.

3차원 정사면체를 평면과 시간을 사용해 그리는 방법도 있습니다. 2차원정삼각형을 선분과 시간을 사용해 표현할 수도 있죠. 그 방법은 상상에 맞기겠습니다.^^

아, 그리고 추가하자면 시간의 길이는 1초가 약30만킬로미터 입니다. 정확히는 299742458m이고요. 그냥 그렇다고요. 혹시 시간차원에 길이를 어떻게 표현하는 지 궁금하실까봐 썼습니다. 이유는 (여기)에 있습니다.

'수학 꼼지락' 카테고리의 다른 글

가위바위보 하나빼기  (3) 2008.02.12
4차원 정5면체 - 오포체  (1) 2008.01.23
소수는 무한히 많다!?  (9) 2008.01.12
벡터에 관한 질문  (12) 2007.12.23
Lump | 2009.08.01 06:43 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
3차원을 넘는 세계의 기하학을 생각하는 건 재밌어요.
가령 풍선을 이루는 2차원의 고무 면처럼, 4차원의 구를 둘러싸는 3차원 껍질을 생각해본다던가 하는 것 말이죠. ㅋㅋㅋ
이름   
비밀번호 
홈페이지 
비밀글