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수학 꼼지락
2007.01.05 23:35
snowall님의 블로그에서 예전에 보았던 문제입니다.
문제는 다음과 같습니다.

버스를 기다리다가 예쁜 여자를 발견하였다. 그 여자와 내가 같은 버스를 탈 확률은?
만약 버스가 한대 지나가는데 그 여자가 타지 않았다면, 내가 그 여자와 같은 버스를 탈 확률은 증가하는가?

처음에 저는 확률이 증가할 것이라고 생각했습니다.

버스노선종류가 n가지라고 하면, 처음에 같은 버스를 탈 확률은 1/n 입니다. 그 후에 버스가 한 대 그냥 지나가면 남은 버스노선수는 1가지가 줄어 n-1 이 되므로, 그 다음 같은 버스를 탈 확률은 1/(n-1)이라고 말입니다.
저는 그렇게 댓글을 달았고, snowall님께서는 탈 버스가 처음에 정해져 있는 것이니 버스가 아무리 지나가도 확률은 계속해서 1/n일 수도 있다
고 대답해 주셨습니다. 그러고보니 정말로 확률은 1/n 이 되는 것 같았습니다.

저 문제 답을 구하는 다른 방법이 생각나서 적습니다.

처음에는 확률이 1/n 인 것이 아니라고 생각하시는 분은 없을 것 같습니다.
두번째 버스가 왔을 때, 같은 버스를 탈 확률은 다음과 같이 계산 할 수 있다고 생각됩니다.

{1-(1/n)}/(n-1)

위와같이 생각 할 수 있는 이유는 확률은 (특정한 사건의 수)/(일어날 수 있는 모든사건의 수) 이기 때문입니다.
특정한 사건(같은 버스를 탈 사건)의 수는 버스 한대가 지나가면 1-(1/n)이 되어야 합니다. 아무 버스도 지나가지 않았을 때는 사건수가 1이 되지만 버스 한 대가 지나감으로서 첫번째 버스와 같은 버스를 탈 확률은 빼야 하기 때문이지요.
따라서,

{1-(1/n)}/(n-1)
={(n-1)/n}/(n-1)
=1/n

결국 같은 버스를 탈 확률은 계속 1/n 이 되는군요.
여기서 버스 한 대가 아니라 버스 k(k<n)대가 지나가도 마찬가지입니다.

{1-(지나간 버스에 같이 탈 수 있었던 확률)}/(남은버스대수)

={1-(k/n)}/(n-k)
={(n-k)/n}/(n-k)
=1/n


이렇게 되는 군요. 결국 버스 몇대가 지나가던지 처음에 고정된 확률 1/n 이 끝까지 가는게 맞는 것 같습니다.


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snowall | 2007.01.06 15:14 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
문 3개중에 1개를 고르는 몬티 홀 딜레마의 원래 문제는 "열고싶은 문을 바꾸는 게 유리한가?"가 질문입니다. 자, 다시 여기로 돌아와서 버스를 바꾸는 것이 유리할까요?
꼼지락 | 2007.01.06 19:34 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
버스를 바꾸는 것이 유리할 것 같습니다. 먼저 버스 노선이 3개라고 가정해봅니다. 몬티-홀 딜레마에서 처음 고른 문을 처음버스라고 하면, 지나간 버스는 사회자가 열어준 문과 같은 효과를 낼 것 같습니다. 그렇다면 바꾸는 것이 유리하게 될 것 같아요. 이것이 버스노선이 많이 있을 때도 적용되는지 잘 모르겠습니다. 보스샤반트가 처음 몬티-홀 딜레마를 설명한 방법과 상황이 좀 달라서 말입니다. 그녀가 처음 설명한 방법은 "1백만개의 문 중에 777,777번째 문만 빼고, 사회자가 모든 문을 열어준다고 생각해 보라"고 했었는데 말이지요. 이것은 777,777번째 문만 열어준다고 생각해야되니까요.
야채 | 2007.03.25 05:13 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
snowall 님의 홈페이지에서 트랙백을 따라와서 읽어보고 있습니다.
말씀하신 식에서의 '특정 사건이 일어날 경우의 수'는 1 - 1/n 이 아니라 그대로 1인 것 같습니다. 지나간 버스는 어차피 내가 탈 버스가 아니었기 때문에, '내가 탈 버스에 여자가 타는 경우의 수'는 변하지 않을 것이기 때문입니다.

이렇게 생각해 보면 어떨까요...

버스 노선이 3개이고, 철수와 영수는 각각 서로 다른 노선의 버스를 탄다.
이제 버스 정류장에 철수, 영수, 그리고 박경림(죄송합니다. ^_^)이 서 있다. 박경림이 철수와 같은 버스에 탈 확률은 1/3, 영수와 같은 버스에 탈 확률도 1/3 이다.
이제 철수도 영수도 타지 않는 버스가 하나 지나갔다. 박경림은 그 버스를 타지 않았다.
박경림이 철수와 같은 버스에 탈 확률은?

이 확률이 1/3 이라면, 박경림이 영수와 같은 버스에 탈 확률 역시 1/3 이겠지요. 그렇게 되면 박경림이 버스에 탈 확률 자체가 2/3 으로 떨어져 버리는 결과가 됩니다. 게다가 철수가 버스를 바꾸는 경우 확률이 2/3 이 된다면, 영수가 박경림과 같은 버스에 탈 확률은 2/3 이라는 이야기가 됩니다. 하지만 영수가 철수보다 확률이 높을 이유는 없지 않겠습니까? 게다가 영수가 박경림과 같은 버스에 탈 확률도 여전히 1/3 입니다. 이래저래 모순이 됩니다.

사실 "버스 몇대가 지나가던지 처음에 고정된 확률 1/n 이 끝까지 간다"는 말씀에 의문을 제기하는 것은 어렵지 않습니다. 만약 버스 n-1 대가 지나간다면 어떨까요? 내가 탈 버스를 제외한 모든 버스가 지나갔으니, 여자가 나와 같은 버스에 탈 확률은 1이 됩니다. 여전히 1/n 일 수는 없지요.
꼼지락 | 2007.03.25 11:14 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
버스가 지나간 다음 다시 확률을 생각해 볼 경우에는 야채님의 말씀과 같이 확률이 1/(n-1)로 증가하는 것이 맞는 것 같군요. 하지만 처음에 온 버스가 내가 탈 버스가 올지 내가 타지 않을 버스가 올 지는 예상하지 못하기 때문에 '내가 타지 않을 버스가 올 확률'은 (n-1)/n이 되니까 이를 식 앞에 곱해야 하지 않을까요?
d | 2009.01.25 14:27 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
증가하지 않는게 맞는것 같네요.
지나간 버스는 어차피 내가 탈 버스가 아니였잖아요.
그나저나 재밌네요ㅋㅋ
'ㅅ' | 2009.03.27 14:26 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
전제를 좀 명확하게

버스가 n대 남았고
이 중에 내가 탈 차는 단 한대 뿐이라고 가정하겠습니다.

그럴때
그 여자가 지금 온 차에 타지 않는 것을 '확인하는 순간'
나랑 같이 탈 확률은 당연히 올라갑니다.

막차가 남았고
그 여자와 내가 정류장에 남아 있다면 같이 탈 확률은 1이겠죠?
문제 문맥을 보면
내가 기다리는 차가 와도 안 타고 계속 기다리고 있다고 생각하는건 이상합니다.
차가 온 순간 내가 기다리던 차인지 아닌지 알 수 있고, 맞다면 타야죠 'ㅅ'

야채님이 말씀하신게 정확히 맞다고 봅니다.


계산에서는
경우의 수와 확률을 잠시 혼동하신 듯 한데
경우의 수가 분수가 나올 수는 없죠.
꼼지락 | 2009.04.23 02:12 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
제가 잘 못 생각했던 것 같네요. 흠. 오랜만에 다시 생각해 봐야겠습니다.
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