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수학 꼼지락
2007. 10. 14. 10:05
오늘 저번주 금요일 화학시간에 신기한 걸 배웠다. 수소원자에서 전자가 발견될 확률분포를 위해 필요한 적분에 대해 배운 것인데. 사실 배웠다기 보다는 dxdy가 xy평면에서 작은 사각형이라는 걸 알려주시고, 이를 극좌표로 바꾸는 새로운 생각을 알려주신것! 한 번 계산해 보라고 하셔서 어제 밤에 심심하길래 계산해 봤다. 방법이 옳았으니 당연히 나온 결과겠지만, I = (√ㅠ)/2 라는 값이 나왔을 때의 그 전율! 남들은 그거하나 유도해봤다고 뭐 그리 좋냐고 하겠지만, 난 나름대로 흥미진진했던 2분이었다구!! 앞으로는 이런 새로운 시각을 내가 찾아냈으면 좋겠다.

*고등학교 미분적분만 배웠으면 이해하는데 문제 없을 것 같으니까 식 올립니다. 이해하기 어렵거나, 잘못된 부분이 있다면 알려주세요.

 

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snowall | 2007.10.18 12:02 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
x^2 부분에 a를 곱해서 ax^2을 계산하면, 임의의 n에 대해서 (x^n)exp(x^2) 형태의 적분을 항상 계산할 수 있게 됩니다. 적분을 먼저하고 a로 n/2번 미분하면 되거든요. n이 홀수면 (n-1)/2번 미분하면 되죠.
꼼지락 | 2007.10.19 18:22 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
x^2 앞에 a를 붙이면, 그냥 e^a가 앞으로 나와서 상수처럼 되는게 아닌가요?? 어떤식으로 식을 변형하면, (x^n)exp(x^2) 가 되는지요..
snowall | 2007.10.19 19:40 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
exp(-a*x^2)를 -a로 미분하면 (x^2)exp(-a*x^2)죠. 따라서, exp(-a*x^2)를 먼저 적분하고 -a로 나중에 미분하면, (x^2)exp(-a*x^2)를 적분한 것과 같아집니다.
꼼지락 | 2007.10.19 21:03 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아, 그렇게 하면 되는군요. 감사합니다.^^
나이데브 | 2007.10.24 13:36 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
이제 막 미적을 시작해서 잘 이해가 안되네요;
나중에 다시 공부하고나서 이해해야 겠어요. :P
꼼지락 | 2007.10.24 22:19 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
사실 선생님께서 말씀하시길 저 적분 과정은 대학교 1학년이 되도 배우지 않는 적분이라고 하시던데요. ^^
Karion | 2008.03.29 20:18 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
대학 미적분학에서도 이런 특이적분은 그다지 많이 배우지 않죠. 좀 더 고학년이 된 물리학과에서나 자주 찾아볼 수 있는 적분입니다. 통계에서 정규분포의 확률밀도함수가 바로 저런 꼴이기 때문에 정규분포의 평균, 분산등을 구하기 위해서는 저런 형태의 적분을 알아야 하죠. 아마 Gaussian integral이라고 했던 것 같네요.
꼼지락 | 2008.03.29 23:35 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
엄청 대단한 적분이었군요...
Keating | 2008.03.30 23:18 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
아~; 이해하고 싶다ㅠㅠ, OTL
꼼지락 | 2008.03.31 00:05 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아.. 직접 대면해서 말하고, 쓰면서 설명해드리고 싶은 이 욕구.
수식으로만하면 설명이 잘 안되니 슬픕니다.
Lump | 2009.08.01 06:32 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
방학 중 학교에 열렸던 수학 특강에서 미분방정식 풀이를 설명하는 중에 저걸 적분하는 법을 언급해주더군요.
지금은 잘 기억이 나지 않지만 말이죠 -_-;;;;;; 저 식의 적분방법이 실로 여러가지가 있다고 들었습니다.
역도함수가 초등함수가 아닌데도 적분이 구해진다는게 재밌네요.
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