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수학 꼼지락
2007.10.13 01:28
오늘 잠도 안 오는데 무한등비급수 한 번 박살 내 봅시다.
제비의 딜레마 - 풀이에서 기하학을 이용해 무한등비급수를 계산 했는데요. 비슷한 방법을 가지고 한 번 공식을 유도해 보죠. 공식 한 번 유도해 버리면 다음부턴 거기다 대입만 하면 되니까 엄청 편해지겠죠.
식을 이용한 풀이는 아무 수학1참고서나 펼쳐보면 잘 나올 겁니다. (안 나오면 그건 부실한 참고서 일꺼에요^^;;) 그래서 저는 또 한 번 기하학을 이용해 유도해 보려고 합니다.

먼저, 한 변의 길이가 a인 정사각형을 그립니다. 그리곤 아랫변을 맞춰서 바로 옆에 한 변의 길이가 ar인 정사각형을 그립니다. 이 때 r은 1보다 작은 수여야 된다는 점 잊지 마세요. 안 그러면 정사각형이 점점 커져서 특정한 값으로 수렴하지 않으니까요. 또, 그 옆에 같은 방식으로 한 변의 길이가 a(r^2)인 정사각형을 그립니다. 또 그 옆에는 a(r^3), a(r^4), a(r^5)... 쭉쭉 그려 나갑니다. 계속 그리고 싶어도 안보여서 못 그리니까 적당히 세 네 개만 그리시면 됩니다. 완성된 그림은 대충 아래와 같습니다.
사용자 삽입 이미지


이렇게 그린 사각형그림에서 가장 큰 사각형의 두 변을 연장하고, 각 오른쪽 상단의 꼭짓점을 연결해서 직각 삼각형을 그립니다. 이 직각삼각형에서 가로의 길이는
a + ar +a(r^2) + a(r^3) + a(r^4) + a(r^5) + ...
즉, 초항이 a이고 공비가 r인 무한등비급수가 됩니다.
사용자 삽입 이미지


이 길이를 찾기 위해 삼각형을 좌표평면으로 가져갑니다. 직각인 각을 원점에 가져다 놓고, 직선의 방정식을 세워 봅니다.
사용자 삽입 이미지


기울기의 경우 두 번째 사각형주변을 살펴 찾아냅니다. y값이 a에서 ar로 감소하는 동안 x는 ar만큼 증가하였으므로 기울기는 (ar-a)/ar입니다. 그리고 이 직선은 (a,a)를 반드시 지나는군요. 따라서 직선의 방정식은
y = { ( ar - a ) / ar }( x - a ) + a
이 직선의 x절편이 직각삼각형의 밑변의 길이이므로 y에 0을 대입하여 x값을 알아냅니다.

0 = { ( ar - a ) / ar }( x - a ) + a
-a = { ( ar - a ) / ar }( x - a )
-a * { ar / ( ar - a ) } = ( x - a )
r / (1 - r) = x - a
x = { a( 1 - r ) +ar } / ( 1 - r )
x = a / ( 1 - r )

와우~!
그러니까 초항이 a고 공비가 r인 무한 등비급수는 a / ( 1 - r ) 이었습니다.^^


p.s 그림 올렸습니다. 이제야 박살냈군요.;; [2007.10.14. 00:53]

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와우 | 2011.02.02 00:23 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
님 덕분에 알고 갑니다~
왔다갑니다. | 2011.11.26 03:32 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
아 번뜩이는아이디어. 부럽다. 왜 난 저렇게 참신하게 못풀지.
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