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수학 꼼지락
2007.10.13 01:02
*본, 포스팅은 제비의 딜레마에 대한 풀이 입니다. 이 글을 이해하기 위해서 제비의 딜레마를 읽고 와 주시기 바랍니다.

먼저 답을 공개할까요?
답은, “ㄴ. 안된다고 우긴다.”입니다. 왜일까요?
바로 먼저 뽑는 사람과 두 번째 뽑는 사람이 이길 확률이 서로 다르기 때문입니다. 처음 뽑는 사람이 이길 확률을 구하는 방법은 다음과 같습니다.

처음 뽑아서“초코”가 나오는 확률. 처음에는 “다시”가 나오고 다음 사람도 “다시”가 나온 뒤 이제야 “초코”가 나오는 확률. “다시” “다시” “다시” “다시” “초코” 가 나오는 확률.
이런 식으로 “다시”가 두 번씩 더 나오고(확률:1/4), 마지막은 “초코”로 끝나는 확률(확률:1/2)들을 각각 더해줍니다.
(처음 뽑는 사람이 이길 확률) = (1/2) +{ (1/4) * (1/2) } + { (1/4)^2 * (1/2) } + { (1/4)^3 * (1/2) } + ...
이 무한 등비급수를 계산해 볼까요? 물론 공식을 사용하면 간단하게 알 수 있지만(공식유도), 공식은 고등학교 수학1에서 배울 수 있는 방법이고요. 저는 이렇게 설명하고 싶습니다.

먼저 아래와 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형을 그립니다. 그리고 가로세로 사등분을 합니다. 그중에서 왼쪽 아래의 사각형에 색칠을 합니다. 또, 오른쪽 아래 사각형을 사등분 하고 그것들 중에서 오른쪽 아래 사각형을 색칠하고 왼쪽 아래 사각형은 사등분을 하고.. 이런 식으로 계속 그려 나갑니다. 무한히 그릴 수는 없으니까 대충 적당히 그리다 멈춥니다.^^;; 이렇게 그린 정사각형들은 계속 넓이가 1/4로 줄어들고 있습니다. 마치 아까 확률이 계속 1/4씩 줄어드는 것과 비슷하죠?
사용자 삽입 이미지

사용자 삽입 이미지


그러고 나서 색칠한 정사각형들의 오른쪽 위의 꼭지점을 이어서 선분을 그리고, 가장 큰 정사각형의 두 변을 연장해서 직각삼각형을 그립니다. 이은 선분의 기울기로 봐서, 이 직각삼각형의 밑변과 높이는 모두 길이가 2라는 것을 알 수 있습니다.
사용자 삽입 이미지


r,y,b 로 표시되어 있는 삼각형 들은 각각의 크기가 같습니다. 따라서 각 구간별로 사다리꼴에서 정사각형이 차지하는 부분은 2/3 라는 것 또한 알 수 있습니다. 결국 직각삼각형의 넓이의 2/3가 정사각형들의 넓이의 총 합이라고 할 수 있겠군요.
사용자 삽입 이미지


그렇다면..
(직각삼각형의 넓이) = 1/2 x (밑변) x (높이) = 1/2 x 2 x 2 = 2
(정사각형들의 넓이의 합) = (직각삼각형의 넓이) x 2/3 = 2 x 2/3 = 4/3

그런데 이 값은 제일 큰 정사각형의 넓이가 1일 때입니다. 만약 1이아니라 1/2 라면 저 값을 반으로 나눠 주어야 합니다. 따라서 2/3 가 나옵니다.
결국 케로로 중사가 이길 확률은 66.67% 정도가 되네요. 반대로 기로로 하사가 이길 확률은 33.33%... 결국 케로로 중사의 제안은 이길 확률이 두 배나 차이가 나는 완전 불공평한 게임이었습니다.!


한 번 생각해 볼 질문: 공평한 제비뽑기 방법은 뭘까요?

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snowall | 2007.10.13 11:49 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
몬드리안 :)
꼼지락 | 2007.10.13 12:43 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
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