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수학 꼼지락
2007.05.17 01:05
자, 오늘은 재미있는 로그에 대해서 포스팅을 하려고 합니다.
지난 중간고사기간에 문제들을 풀다가 찾은 신기한 문제인데요. 먼저 문제부터 살펴보도록 하죠.

제곱하면 두 자리 자연수이고, 세제곱하면 세자리 자연수가 된다. a^100의 상용로그의 지표 n의 최대값과 최소값을 각각 M, m 이라 할 때, M+m의 값을 구하시오.

해설에 나와있는 풀이를 보여드리겠습니다.

[해설]

이렇게 답이 나오게 됩니다.
그런데 다른각도로 문제에 접근했을 때, 이상한 점을 발견했습니다.

[다른풀이]

분명히 처음에 구한 99와 66은 최대값과 최소값으로 존재할 수 없는 값입니다. 왜냐하면, 자연수가 되어야 하는 조건을 만족시키지 못하기 때문이죠. 게다가 답까지 다르게 나옵니다. 문제집에는 분명히 165라고 나오지만, 절대로 나올 수 없는 두 수를 더해서 만들어 진 수죠.

해설에서 잘못된 부분이 어딘고 하니..

[잘못된 부분]

사실, 이 문제가 성립하려면 "자연수"라는 말 대신에 그냥 "수" 정도로만 썻어야 할 듯 싶습니다.

p.s. 제곱해서 세자리, 세제곱해서 네자리 자연수가 되는 경우를 생각해 보아도 비슷하게 나옵니다.

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snowall | 2007.05.17 15:33 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
아무도 관심가질리 없지만 5의 100제곱과 9의 100제곱 전격 공개.
5^100=7888609052210118054117285652827862296732064351090230047702789306640625
9^100=265613988875874769338781322035779626829233452653394495974574961739092490901302182994384699044001
69자리 숫자와 95자리 숫자가 맞는지 일일이 세보는 센스(!)
꼼지락 | 2007.05.17 23:43 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
^^ 설마 손으로 계산하시진 않으셨겠죠? ㅋ
snowall | 2007.05.18 00:39 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
물론 maple을 이용했죠. 마침 실행중이어서 -_-;
깜짝 퀴즈 : 모든 자연수 n에 대해서 n제곱해서 n자리 숫자가 나오는 자연수는 몇개?
꼼지락 | 2007.05.18 17:59 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
상용로그와 자리수의 관계에 따라서,
n-1 ≤ log(n^n) < n
n-1 ≤ n log(n) < n
1-(1/n) ≤ log(n) < 1

먼저, log(n) < 1 이므로, n은 10보다 작다.
가능한 수는 1부터 9까지의 자연수.
1-(1/n) ≤ log(n)
각각의 수를 위 식에 대입해 보면 알 수 있다.
조건을 만족하는 자연수는 1과 9.
--------------------------------------------
결국 두밖에 안 나오네요^^
snowall | 2007.05.18 18:16 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
log10(9^100)=95.42425098
따라서, 9의 100제곱은 95자리 숫자이고, n=100인 경우 100제곱에 대해서 100자리 숫자가 아니므로 불가. 1부터 9까지 자연수중에 이런 조건을 만족하는 자연수는 하나도 없습니다.
꼼지락 | 2007.05.18 18:22 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
모든 자연수 n에 대해서 n제곱해서 n자리 숫자가 나오는 자연수는 몇개?

이라고 하셨으니까
log(9^9)=8.5881825849539238713105022585921
따라서 9^9는 아홉자리수..

맞지 않나요?
snowall | 2007.05.18 22:04 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
이 문제는 어떤 자연수 x를 찾는 건데, x를 모든 자연수 n에 대해서, x를 n제곱하면 n자리 숫자가 나오는 x죠. 따라서 log10(x^n)=n-1+a , a는 가수인 등식이 모든 n에 대해서 성립하는 x를 찾아야 하는데, x=9라고 하면 n=100에 대해서 성립하지 않습니다.
꼼지락 | 2007.05.18 22:31 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아! 문제 이해를 잘못했군요..;;;

전 어떤자연수 n을 자기자신만큼 제곱했을 때, 자기자신만큼의 자리수를 가지는 n을 찾으라는 것인줄 알았네요;;
이상현 | 2008.02.09 22:44 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
정말 천재님들이시구나 ㅠㅠㅠ 부러워요
꼼지락 | 2008.02.09 23:58 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
아, 그냥. 고등학교수학만 쫌 공부하시면 되요;;;
먼지 | 2013.01.05 21:30 신고 | 절대주소 | 수정/삭제 | 댓글
자연수 * 어떤 수 = 자연수
라고 어떤수가 자연수라고 할 수만은 없지요?
꼼지락 | 2013.02.06 13:12 신고 | 절대주소 | 수정/삭제
예는 뭐가 있을까요?
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