지구에서 자유낙하를 하고 싶어하는 대부분의 떨어지는 물체는 공기저항력을 받습니다. 누군가 진공상태로 만든 공간에서 실험하지 않는다면 말이죠. 이때 공기저항력($f$)는 떨어지는 물체의 속도($v$)에 비례한다고 합니다. 이 말을 수학적으로 써보면

$f=kv$

위와 같습니다.
그런데 저는 아무리 생각해봐도 왜 저런지를 모르겠습니다. 어떤 물체가 받는 저항력($f$)은 그 물체가 받는 충격력($F$)과 같다고 할 수 있을 것입니다. 이 충격력은 또 기체분자의 운동량의 변화량에 비례하죠. 운동량보존법칙에 의해서 말입니다. 기체분자는 땅에서 봤을 때 평균적으로 정지해 있기 때문에, 낙하하는 물체와 공기들의 속도차는 그냥 낙하하는 물체의 속도($v$)와 같다고 할 수 있습니다. 고로 물체가 받는 충격력($F$)에 관련된 원리를 적용할 수 있습니다. $Ft=mv$ 바로 이 원리말입니다.
기체의 경우 단순히 $m$으로 쓰지 말고 공간속에 존재하는 기체분자의 수를 가지고 따져 봅시다. 어떤 부피속에 들어있는 공기입자의 수를 $N$이라고 해 봅시다. 그리고 입자 하나당 평균 질량을 $m$이라고 하죠. 그리고는 우리가 보통 알고있는 $Ft=mv$라는 식을 다음과 같이 변형해 봅시다.

$Ft=Nmv$

위 식은 일정시간동안 부딫히는 공기입자의 개수를 고려한 것입니다.¹ 이때 부딫히는 입자의 개수 $N$에 대하여 알아봅시다. 어떤 물체가 떨어지는데 떨어지는 속도가 빨라진다면, 일정 시간동안 만나게 되는 공기분자의 개수는 증가할 것입니다. 공기분자는 대기중에서 고르게 퍼져있기 때문입니다. 즉 $N=kv$라는 식이 성립한다는 말이 됩니다. 그럼 위 비례식을 미리 변형시켜놓은 식에 대입해 보겠습니다.

$Ft=(kv)mv=kmv^2$

충격력($F$)가 속도의 제곱에 비례하는 식이 되어 버렸습니다.;;;
이게 뭔일이죠?? -_- 시간에 관해 고려하지 않은 것이 원인일까요? 시간은 일정시간을 기준삼았으니 어차피 고정된 상수라 가만 냅뒀는데 말입니다.. 속도가 빨라져 상대론적인 질량증가와 상관이 저항력에 영향을 줄 만큼 클리는 없을것이고.. 유체역학적으로 공기가 부드럽게 휘어지는게 관련이 있는 것인가하는 추측도 하고 있지만.. 그럼 또 정확하게 $v$에 비례한다는 건 쫌 이상한 상상인 것 같구.. 아님 애초부터 저항력과 충격력이 비례할꺼라는 생각이 잘못된 걸까요??
아시는 분 설명 부탁드려요^^;;